Curiosidades sobre números primos

 

 

 

Curiosidades sobre números primos

 

 

 

Número primo é todo número inteiro maior que 1 que somente é divisível por si próprio e pela unidade.

 

         Algumas características:

 

§        Todos os números primos, exceto o 2, são números ímpares.

 

§        Existem mais números primos entre 1 e 100 do que entre 101 e 200.

 

§        Existem infinitos números primos (uma demonstração foi feita por Euclides).

 

§        Os números primos, exceto o número 2, são todos ímpares e se dividem em duas classes: uma composta de múltiplos de 4 menos 1 (3, 11, 19, etc.) e outra formada de múltiplos de 4 mais 1 (5, 13, 17, etc.). Para números menores que um trilhão há mais primos da classe “menos 1”. Por métodos teóricos já ficou demonstrado que para números muito grandes o padrão muda para a classe “mais 1”.

 

Goldbach conjecturou – o que ainda não foi demonstrado se falso ou verdadeiro – que qualquer número par superior a 2 é a soma de dois números primos:

 

4 = 2 + 2

6 = 3 + 3

8 = 3 + 5

10 = 5 + 5

12 = 5 + 7 e assim por diante.

 

Essa conjectura foi sugerida por Goldbach numa carta que escreveu a Euler, datada de 7 de junho de 1742. E desde então inúmeros matemáticos tentam demonstrá-la.

 

A tabela abaixo indica até que números sucessivamente crescentes a conjectura já foi confirmada e os respectivos matemáticos, autores das provas. Todavia, uma demonstração geral, como ocorreu com a do Último Teorema de Fermat, ainda não foi obtida.

 

Número

Referência

1 x 104

Desbove, 1885

1 x 105

Pipping, 1938

1 x 108

Stein, 1965

2 x 1010

Granville, 1989

4 x 1011

Sinisalo, 1993

1 x 1014

Deshouillers, 1998

4 x 1014

Richstein, 2001

2 x 1016

Oliveira e Silva, mar/ 2003

4 x 1018

Oliveira e Silva, out/2003

Provas parciais da Conjectura de Goldbach

 

Nota-se que o matemático português Tomás Oliveira e Silva tem perseverado na questão.

 

Outra conjectura, a de que existem infinitos números primos gêmeos, também não foi demonstrada. Números primos gêmeos são números primos cuja diferença é 2, tais como 17 e 19, 41 e 43 ou 59 e 61.

 

Os números primos vêm intrigando os matemáticos há muito tempo. Dizem que muitos deles enlouqueceram tentando obter uma fórmula geral para esses números.

 

Atualmente, os fatores primos de números monstruosos são usados como chaves de criptografia. E esses fatores primos, quando descobertos, são guardados “a sete chaves”, pois fazem parte da segurança nacional de muitos países.

 

Vamos tentar explicar isso sucintamente.

 

Criptografia vem do grego – kryptos significa oculto, envolto; graphos significa escrever. Para podermos decifrar um código, uma criptografia, é necessária “uma chave criptográfica”. E quanto mais segura essa chave, mais difícil a quebra do código. Isso tudo é decorrência da luta intelectual contínua entre criptógrafos (criadores de códigos) e criptoanalistas (quebradores de códigos).

 

Depois de muito desenvolvimento nessa área, temos hoje o que se chama criptografia assimétrica, com a utilização de fatores primos de números monstruosos.

 

Por que isso? Porque, quando o número for tremendamente grande, o processo de fatoração é praticamente impossível.

 

Por exemplo, o número (2193 - 1) é um número gigantesco. Os fatores primos desse número, ou seja, os números primos que multiplicados resultam em (2193 - 1) são:

 

p = 13.821.503;

q = 61.654.440.233.248.340.616.559;

r = 14.732.265.321.145.317.331.353.282.383.

 

p x q x r = 2193 - 1

 

Evidentemente, esse resultado foi obtido por computador.

 

Todavia, para um número da ordem de 10130, um computador comum levaria 50 anos para efetuar a sua fatoração. E para um número da ordem de 10308, mesmo com os esforços combinados de 100 milhões de computadores, seriam necessários mais de 1000 anos!

 

Fatores primos de números dessa ordem de grandeza são usados na criptografia de transações bancárias e nos serviços de segurança de vários países. Para quem se interessar por história da criptografia recomendamos a leitura do Livro dos Códigos, de Simon Singh.

 

Os maiores gênios da criptografia são pessoas desconhecidas, pois, em geral, trabalham em serviços secretos de seus países.


Martin Gardner, famoso matemático americano, fez um desafio para a decodificação de um texto cifrado por ele em agosto de 1977, e forneceu para a chave um número enorme:

 

N = 114.381.625.757.888.867.669.235.779.976.

146.612.010.218.296.721.242.362.562.561.842.

935.706.935.245.733.897.830.597.123.563.958.

705.058.989.075.147.599.290.026.879.543.541

 

Para decifrar o texto seria necessário obter os fatores primos desse número. E isso só foi conseguido dezessete anos depois, pelo esforço conjunto de 600 pessoas de várias nacionalidades e com a utilização de computadores e supercomputadores, em 26 de abril de 1994.

 

Os fatores de N:

 

p = 3.490.529.510.847.650.949.147.849.619.903.898.

133.417.764.638.493.387.843.990.820.577

 

q = 32.769.132.993.266.709.549.961.988.190.834.461.

413.177.642.967.992.942.539.798.288.533

 

Ou seja, N = p x q

 

         O texto de Gardner decifrado e traduzido era: “as palavras mágicas são estruturas sensíveis”.

 

E, finalmente, como curiosidade, apresentamos os dez maiores números primos conhecidos (até 06/09/2004).

 

Maiores primos conhecidos

Nº de dígitos

224036583-1

7235733

220996011-1

6320430

213466917-1

4053946

26972593-1

2098960

5359.25054502+1

1521561

23021377-1

909526

22976221-1

895932

1372930131072+1

804474

1361244131072+1

803988

1176694131072+1

795695

                                                                           Os dez maiores primos conhecidos até 06/09/2004

 

A atualização de novas descobertas está disponível na Internet, através da busca: “the largest known primes” ou diretamente na página:

 

http://www.utm.edu/research/primes/largest.html