O número e

 

 

 

Começaremos essa história com outra: a dos logaritmos. Quem da velha-guarda não se lembra das famosas tabelas de logaritmos? E das famigeradas réguas de cálculo? Coisas jurássicas para a geração atual!

Os logaritmos foram inventados por John Napier (1550-1617). Seu objetivo era obter uma forma menos trabalhosa de fazer cálculos. E, na época, uma multiplicação entre números grandes, por exemplo, era um verdadeiro sacrifício. Coisa de sábios.

 

Qual foi a idéia de Napier... ou Neper?

 

Neper foi um nome pelo qual ele também ficou conhecido, e como nos foi ensinado (logaritmos neperianos) – o que me fez lembrar de um amigo dos tempos de faculdade, um nordestino arretado, que sempre pronunciava “néparianos” e cujo apelido acabou ficando Népa. O mais interessante é que no ano seguinte a essa consagração surgiu outro nordestino com a mesma dificuldade. Não deu outra: Népa 2.

 

John Napier

 

Voltemos ao Neper original, que, mesmo sendo um rico escocês, fazia coisas mais interessantes do que se encharcar com whisky, e que era também uma pessoa muito ardilosa.

 

Conta-se que, desconfiado de que estava sendo roubado por um de seus empregados, ordenou-lhes que passassem a mão sobre um galo preto num quarto escuro, dizendo que o animal, posteriormente, identificaria o ladrão. Acontece que Neper, astuto matemático, havia passado fuligem no galo e, ao saírem os empregados do recinto, pediu-lhes que mostrassem as mãos, identificando o culpado – o único que estava com as mãos limpas...

 

Vamos tentar tornar palatável aos não-matemáticos outra idéia “ardilosa” de Neper para inventar os logaritmos, com um exemplo bem simples.

 

A idéia básica era obter o resultado de uma multiplicação através de uma operação mais fácil – a soma.

 

 Sabemos que para calcular o produto de potências de mesma base somamos os expoentes, como no exemplo:

 

2² x 2³ = 2⁵

 

Vejamos, então, o procedimento básico através da tabela abaixo:

 

 

 

Na linha superior temos os expoentes e na inferior o resultado de 2 elevado ao respectivo expoente.

 

Então, para multiplicar 16 x 64, por exemplo, somamos os respectivos expoentes 4 e 6, obtendo 10. Verificamos em seguida qual o número correspondente ao 10, e chegamos ao resultado 1024.

 

A linha de cima é a dos logaritmos na base 2 e a de baixo, a dos respectivos antilogaritmos.

 

Fácil? Sim, mas as coisas não foram assim tão simples. Nunca são.

 

Neper usou como base 0,9999999 (uma coisa muito esquisita para os não-matemáticos e até para os sim-matemáticos). Os detalhes dessa escolha ficam para os mais interessados pesquisarem. Aqui espantaria boa parte de leitores.

 

O fato é que, com essa base, Neper construiu suas tábuas de logaritmos e publicou um tratado: Mirifici logarithmorum canonis descriptio (Descrição do maravilhoso cânone dos logaritmos).

 

Posteriormente, outro matemático, Henry Briggs (1561-1631), foi visitar Neper e sugeriu o uso da base 10. Pronto: ficou criado o logaritmo decimal, cujas tabelas (“dos Irmãos Maristas”) todos colegiais de antigamente tinham, com a notação log N significando logaritmo de N na base 10.

 

E, na seqüência, depois do logaritmo decimal, ensinavam-se logaritmos noutras bases, em especial o famoso ln N, significando logaritmo natural ou logaritmo na base e, ou, ainda, logaritmo neperiano (népariano, segundo os amigos nordestinos).

 

 

 

 

E aqui começa a nossa breve história do intrigante número e.

 

Para apresentar o e, vamos supor uma situação bastante hipotética.

 

Imagine que um banco pague juros de 100% ao ano. Eu não falei que era uma situação hipotética? Mesmo assim, vamos fazer de conta que existe um banco com essa maravilhosa generosidade.

 

Após um ano, teríamos o montante de R$ 2,00 para cada R$ 1,00 aplicado.

 

E se, com uma generosidade inexplicável, os juros fossem creditados semestralmente, ao final de um ano teríamos R$ 2,25. Um sonho!

 

A expressão para esse cálculo é a seguinte:

 

(1 + 1/n)ⁿ = (1 + 1/2)² = 2,25

 

Para o crédito ser trimestral, temos n = 4 e o resultado é 2,44141.

 

         Vejamos alguns resultados para diversos valores de n na tabela abaixo.

 

 

A “loucura total” seria calcular quanto seria o resultado para o crédito instantâneo, ou seja, com n tendendo ao infinito.

 

Esse limite é um número irracional e transcendental chamado número e (número de Euler).

 

 

Em termos matemáticos:

 

e = 2,71828182845904523536028747135266... E nunca termina.

Quem efetivamente calculou o número e foi Leonhard Euler, e dizem que a designação decorre da inicial de seu sobrenome, mas também existe a versão de que o e se deva à inicial de “exponencial”.

 

Esse número é a base dos logaritmos neperianos.

 

E se aquele banco generoso quisesse creditar juros instantâneos à sua aplicação de R$1,00, a 100% ao ano, você teria ao final de um ano o valor de:

 

R$ 2,71828182845904523536028747135266...

 

Ou, o que é mais provável, R$ 2,71, deixando aquela montanha de decimais ao banco. Afinal, esse banco merece!

 

Vamos, pois, ficar atentos à publicidade. Quem sabe não aparece um banco assim?

 

 

Existem, entre outros, dois especialmente intrigantes: p e i.

 

p = 3,14159... Também transcendental.

i = Ö-1 porque i foi o símbolo adotado por Euler para a raiz quadrada de -1.

 

E olha só o que o Euler também conseguiu – uma correlação entre eles:

e^iπ + 1= 0

         Mas isso já é coisa para os efetivamente matemáticos...