Números de relógio

 

 

Números de relógio

 

 

Adalberto Nascimento

 

 

Vamos começar escrevendo algo considerado como uma heresia matemática:

 

8 + 6 = 2

 

Do ponto de vista formal, isso realmente é falso, mas é verdade do “ponto de vista” do relógio.

 

14 horas não é igual a 2 horas?

 

Como o relógio continua indefinidamente (desde que com corda ou pilha), também é verdade, para o relógio, que 38 = 2.

 

Partindo da zero hora, depois de 38 horas o ponteiro das horas estará no 2. Portanto, 38 = 2.

 

Nós, simples mortais, poderemos explicar ao relógio que 38 horas correspondem a 2 depois de 3 ciclos de 12 horas.

 

Todavia, para não mais incomodar os puristas, vamos representar aquela heresia da seguinte forma: 8 + 6 = 2 (mód. 12).

 

Ou seja, em módulos de 12, o 2 representa o resto da divisão de 14 por 12. Mais calmos?

 

Assim, com esse jeitão, poderemos ter outras igualdades para outros módulos.

 

Por exemplo, 49 = 1 (mód. 8)

 

Isso significa que para um ciclo de 8, depois de 6 ciclos, sobra 1. Ou de outra forma: o resto da divisão de 49 por 8 é igual a 1. Isso todo mundo sabe, ou deveria saber...

 

Pois é, com essa coisa aparentemente banal, inventada por Gauss, foram demonstradas muitas propriedades da teoria dos números.

 

Vejamos uma bem simples.

 

Vimos que: 49 = 1 (mód. 8).

 

Podemos multiplicar os dois lados dessa igualdade por um mesmo número e ela continua válida. Foi Gauss quem primeiro garantiu isso!

 

Vamos então multiplicar os dois lados por 49.

 

49² = 49 (mód. 8)

 

E, portanto, 49² = 1 (mód. 8)

 

Generalizando:

 

49n = 1 (mód 8), para n inteiro.

 

Vamos, por farra, escolher um n bem grandão.

 

49¹ºº = 1 (mód. 8)

 

Significa que esse número monstruoso dividido por 8 tem como resto 1. Quem diria?

 

E tirando 1 de cada lado da igualdade (também sob autorização de Gauss):

 

49¹ºº - 1 = 0 (mód. 8)

 

Isso significa que (49¹ºº - 1) é um baita número divisível por 8.

 

         Gostaram dessa sacada de Gauss?

 

Para muitos, os maiores matemáticos de todos os tempos foram: Arquimedes, Newton e Gauss (Johann Karl Friedrich Gauss – 1777 - 1855).

 

Para não fundir a cuca do leitor, vamos encerrar com uma historinha.

 

Num jantar em Londres, há muito tempo, um tal de Lorde John Wilson conjecturou que: (p – 1)! + 1 é sempre divisível por p, somente quando p é primo.

 

Um matemático de Cambridge publicou em 1770 essa conjectura comoTeorema de Wilson”, talvez para bajular o lorde.

 

Lembrando o significado de fatorial de um número (n! = 1 x 2 x 3 x ... x n), vejamos um caso dessa conjectura, utilizando p = 7:

 

 (7 - 1)! + 1 = 6! + 1

 

 = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 + 1

 

 = 720 + 1 = 721

 

E 721 é realmente divisível por 7.

 

Mas como provar de uma forma geral para qualquer “p” primo?

 

A prova do “Teorema de Wilson” foi feita muitos anos depois daquela publicação. Gauss, usando noções de sua invenção, levou 5 minutos para demonstrá-la!

 

Gauss comentava que o mais importante eram as noções, e não as notações.