Números palíndromos

 

Números palíndromos

 

 

 

Uma frase palíndroma é aquela que, ou se leia da esquerda para a direita, ou da direita para a esquerda, tem o mesmo sentido.

 

Por exemplo:

 

SOCORRAM-ME SUBI NO ONIBUS EM MARROCOS

 

Podemos observar que, da direita para a esquerda, as letras, juntadas ou separadas convenientemente, formam a mesma frase.

 

No exemplo a palindromidade está feita em termos de letras.

 

Outro exemplo, em inglês, de frase palíndroma em que as letras são as unidades:

 

WAS IT A CAN ON A CAT I SAW?  

 

Esses exemplos são de palindromidade clássica, por serem as letras tomadas como unidades.

 

Também existem palíndromos em que as palavras são as unidades:

 

YOU CAN CAGE A SWALLOW, CAN’T YOU, BUT YOU CAN’T SWALLOW A CAGE CAN YOU?

 

(leia palavra por palavra da direita para a esquerda)

 

Os números, como as letras, também são símbolos e um número palíndromo (ou capicua) é aquele que é igual quando lido nos dois sentidos:

 

Exemplos: 14541, 7117, 3333, etc.

 

Há uma questão matemática interessante, envolvendo esses números, chamada conjectura palíndroma.

 

Essa conjectura consiste em escolhermos qualquer número, escrevê-lo em ordem inversa e somarmos os dois números obtidos. Com a soma obtida, repete-se o procedimento até a obtenção de um número palíndromo.

 

Por exemplo:

 

Seja 68 o número escolhido.

 

Primeiro passo:

 

68 + 86 = 154

 

Segundo passo:

 

154 + 451 = 605

 

Terceiro passo:

 

605 + 506 = 1111 (deu um palíndromo!).

 

A conjectura palíndroma é que, qualquer que seja o número inicial escolhido, se chega sempre a um palíndromo, após um número finito de passos.

 

Ninguém sabe se essa conjectura é falsa ou verdadeira.

 

O menor número inteiro que pode ser um contra exemplo dessa conjectura é o 196.

 

Através de computadores, já o levaram a centenas de milhares de passos, conforme foi feito no exemplo com o número 68, sem se obter um palíndromo, ou seja:

 

196 + 691 = 887

 

887 + 788 = 1675

 

1675 + 5761 = 7436

 

E, assim sucessivamente, sem (até hoje) ser encontrado um palíndromo.

 

Todavia, ainda não há prova que esse número (196) nunca gere um palíndromo.

 

Existem várias outras particularidades sobre os números palíndromos.

 

Uma delas é que todo número palíndromo com um número par de dígitos é divisível por 11, ou seja, o resto da sua divisão por 11 é zero.

 

Exemplos:

 

731137 (número palíndromo com seis dígitos)

 

95344359 (número palíndromo com oito dígitos)

 

Se dividirmos qualquer um desses números por 11, o resto será nulo.

 

Vale lembrar que um número é divisível por 11 quando acontece o seguinte:

 

Somamos os algarismos de ordem ímpar.

 

Somamos os algarismos de ordem par.

 

Se a diferença dos números obtidos for zero ou um múltiplo de 11 (positivo ou negativo), o número será divisível por 11.

 

Dos exemplos anteriores, vejamos com o número 731137

 

Soma dos algarismos de ordem ímpar:

 

7 + 1 + 3 = 11

 

Soma dos algarismos de ordem par:

 

3 + 1 + 7 = 11

 

Diferença:

 

11 - 11 = 0

 

Com o número 95344359:

 

Soma dos algarismos de ordem ímpar:

 

9 + 3 + 4 + 5 = 21

 

Soma dos algarismos de ordem par:

 

5 + 4 + 3 + 9 = 21

 

Diferença:

 

21 - 21 = 0

 

Portanto, quando nos depararmos com um número muito grande, palíndromo e com um número par de dígitos, poderemos, sem efetuar nenhum cálculo, apostar com alguém que o mesmo é divisível por 11 e ganharmos a aposta.

 

Seja, por exemplo, o número:

 

543753357345

 

Esse número é palíndromo, uma vez que lido nos dois sentidos, corresponde ao mesmo número.

 

Tem um número par de dígitos (no caso: 12 dígitos).

 

Portanto, é divisível por 11.