QUADRADOS MÁGICOS

 

 

QUADRADOS MÁGICOS

 

 

 

Na antiguidade havia pessoas que atribuíam poderes místicos aos quadrados mágicos e, por essa razão, esses quadrados eram usados como amuletos.

 

O que é um quadrado mágico?

 

A figura abaixo é um quadrado mágico:

 

 

   

4

 

9

 

2

 

3

 

5

 

7

 

8

 

1

 

6

           

 

Esse é um quadrado (3 por 3), formado por 3 linhas e 3 colunas e, portanto, com um total de 9 casas.

 

Nessas casas estão dispostos os números de 1 a 9, de tal forma que a soma dos elementos de cada linha, coluna e diagonais é sempre 15.

 

Assim, temos:

 

Primeira linha: 4 + 9 + 2 = 15

 

Segunda linha: 3 + 5 + 7 = 15

 

Terceira linha: 8 + 1 + 6 = 15

 

Primeira coluna: 4 + 3 + 8 = 15

 

Segunda coluna: 9 + 5 + 1 = 15

 

Terceira coluna: 2 + 7 + 6 = 15

 

Uma diagonal: 4 + 5 + 6 = 15

 

Outra diagonal: 2 + 5 + 8 = 15

 

 

Temos que, para o quadrado (3 por 3), a constante é 15.

 

Essa constante era chamada número planetário.

 

Se o leitor quiser construir um quadrado mágico (4 por 4), portanto com 16 casas, deverá antes descobrir o número planetário para o quadrado dessa forma.

 

Em seguida, distribuir os números de 1 a 16 nas linhas e colunas, de tal forma que a soma, incluindo as diagonais seja sempre uma constante que, no caso do quadrado (4 por 4), é o número planetário 34.

 

Vejamos um quadrado mágico (4 por 4):

 

       

 

15

 

10

 

3

 

6

 

4

 

5

 

16

 

9

 

14

 

11

 

2

 

7

 

1

 

8

 

13

 

12

 

Nesse quadrado os números de 1 a 16 estão dispostos de tal forma que, em cada linha, coluna e diagonais, a soma é 34.

 

Um outro exemplo de quadrado mágico (4 por 4):

 

       

16

 

3

 

2

 

13

 

5

 

10

 

11

 

8

 

9

 

6

 

7

 

12

 

4

 

15

 

14

 

1

 

Como curiosidade, esse último quadrado aparece numa pintura intitulada Melancolia, feita em 1514 por Albrecht Durer (observe que o 15 e 14 “formam” 1514). Sobre esse quadrado algumas surpresas serão vistas mais adiante.

 

Existem mais de 20 bilhões de agrupamentos possíveis de 1 a 16 num quadrado (4 por 4), mas somente cerca de 800 serão quadrados mágicos (soma das linhas, colunas e diagonais iguais a 34).

 

Para o quadrado mágico (5 por 5), ou seja, com 25 casas, usando os números de 1 a 25, o número planetário é 65.

 

Existe uma fórmula para obtermos o número planetário de um dado quadrado mágico:

         n + n3

S =   _____

            2

 

S é o número planetário;

 

n é o “lado” do quadrado e tem que ser maior que dois.

 

Assim, para o quadrado (3 por 3), o número planetário é obtido da seguinte forma:

 

          3 + 33           

S =   ______   =   15                                                                                                                   

             2                             

 

Daí, se o leitor quiser construir um quadrado mágico (7 por 7), portanto com 49 casas, terá de descobrir o número planetário, que, usando a fórmula dá 175.

 

Em seguida, terá de distribuir os números de 1 a 49 em 49 casas, de tal forma que a soma das linhas, colunas e diagonais sejam iguais a 175.

 

Vejamos como é que se pode facilmente construir um quadrado mágico 4 por 4.

 

Inicialmente distribua os números de 1 a 16, conforme demonstrado em seguida:

 

 

 

1

 

2

 

3

 

4

 

5

 

6

 

7

 

8

 

9

 

10

 

11

 

12

 

13

 

14

 

15

 

16

 

 

A seguir inverta as diagonais em relação centro.

 

 

16

 

2

 

3

 

13

 

5

 

11

 

10

 

8

 

9

 

7

 

6

 

12

 

4

 

14

 

15

 

1

 

 

E aí já temos um quadrado mágico, no qual a soma das linhas, colunas e diagonais dá 34.

 

E, surpreendentemente, podemos troca a posição das colunas e ele continuará sendo um quadrado mágico.

 

Por exemplo, trocando a posição da segunda e terceira colunas:

 

 

16

 

3

 

2

 

13

 

5

 

10

 

11

 

8

 

9

 

6

 

7

 

12

 

4

 

15

 

14

 

1

 

 

Esse quadrado mágico é bastante interessante.

 

Como já vimos o seu número planetário é 34.

 

Além disso, ele possui outras propriedades:

 

A soma dos números dos cantos também dá 34.

 

 

16

 

3

 

2

 

13

 

5

 

10

 

11

 

8

 

9

 

6

 

7

 

12

 

4

 

15

 

14

 

1

 

 

Os cinco quadrados 2 por 2, os dos cantos e o central também somam 34.

 

 

16

 

3

 

2

 

13

 

5

 

10

 

11

 

8

 

9

 

6

 

7

 

12

 

4

 

15

 

14

 

1

 

 

 

 

16

 

3

 

2

 

13

 

5

 

10

 

11

 

8

 

9

 

6

 

7

 

12

 

4

 

15

 

14

 

1

 

 

Nas colunas, um par de números adjacentes soma 15 e o outro 19.

 

Observe os números destacados.

 

 

16

 

3

 

2

 

13

 

5

 

10

 

11

 

8

 

9

 

6

 

7

 

12

 

4

 

15

 

14

 

1

 

 

Sabe o que ocorre?

 

3 + 5 + 12 + 14 = 2 + 8 + 9 + 15

 

e mais: 3² + 5² + 12² + 14²  =  2² + 8² + 9² + 15²

 

 

Falamos sobre números planetários que, no exemplo anterior é o número 34.

 

Por que essa denominação  de número planetário?

 

A origem desse nome remontaria à antiguidade, em razão do estabelecimento de uma relação entre os quadrados mágicos e os planetas e teria sido feita pelos sabeístas (adoradores do fogo, do sol e dos astros).

 

A disposição:

 

          

4

 

9

 

2

 

3

 

5

 

7

 

8

 

1

 

6

 

é encontrada desde o século X e era usada como amuleto ou simpatia. Conta-se que, no Oriente, essa configuração era desenhada em pedaços de algodão não utilizado anteriormente para, se colocados sob os pés de uma parturiente, facilitar o parto.

Em 1533, Agrippa Van Nettesheim (um “doidão” da época) estabeleceu uma conjugação dos quadrados mágicos com os planetas e os metais.

Pela influência de Agrippa,  utilizava-se um grande amuleto com sete carreiras de quadrados mágicos, com a seguinte simbologia:

 

quadrado mágico de 9 elementos, em chumbo, simbolizando Saturno;

 

de 16 elementos, em estanho, simbolizando Júpiter;

de 25 elementos, em ferro, simbolizando Marte;

de 36 elementos, em ouro, simbolizando o Sol;

de 49 elementos, em cobre, simbolizando Vênus;

de 64 elementos, em liga de prata, simbolizando Mercúrio;

de 81 elementos, em prata, simbolizando a Lua (a Lua era considerada planeta).

 

Acreditava-se que o uso desse amuleto dava sorte.

 

Vai ver que o ex-deputado João Alves tem um.